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是的，欠费中国移动会发短信通知。

移动公司会发送欠费提醒短信通知用户欠费情况，让用户及时缴纳费用，如果用户没有及时缴纳欠费，移动公司可能会采取停机等措施，以避免因欠费导致的违约行为，如果手机欠费了，可能会影响短信的接收功能，因此可能会无法正常接收到移动公司发送的通知短信，建议定期查询话费余额，及时缴纳欠费，确保不会错过任何重要的通知。

仅供参考，具体通知情况可能因个人使用情况和设置有所不同，如有疑问，建议直接联系移动客服进行咨询。